Ensembles finis Exemples

$4 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} = 8$

Étape 1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 2 x y + 5 y^{2} - 8 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 2 y$ et $c = 5 y^{2} - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 y^{2} - 8))}}{2 \cdot 4}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (5 y^{2} - 8))}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.2

Laissez $u = 4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ . Remplacez toutes les occurrences de $4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ par $u$ .

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2} - 4 u$ .

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Étape 4.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (y^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - u)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 \cdot (5 y^{2} - 8)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (4 \cdot (5 y^{2} - 8)))}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (4 (5 y^{2}) + 4 \cdot - 8))}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.5.1.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2} + 4 \cdot - 8))}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.5.1.3

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2} - 32))}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.5.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (20 y^{2}) + 32)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.5.1.5

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - 20 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 32$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - 20 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.5.2

Soustrayez $20 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- 19 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- 19 y^{2} + 32)}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{2 \cdot 4}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{8}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{8}$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{y + \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$

$x = \frac{y - \sqrt{- 19 y^{2} + 32}}{4}$